Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado (no hay exponentes en las incógnitas) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.
Para resolver un sistema de ecuaciones se debe encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema
Ejemplo:
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2
Las incógnitas son “x” y “y” y las tenemos en ambas ecuaciones
Para recordar:
En ecuaciones de una incógnita despejamos todos los números de un lado del signo igual y las incógnitas del otro lado.
x + 3 = - 6x -10
x + 6x = -10 + 3
7x = -7
x = -7/7
= -1
Esto no aplica en sistemas de ecuaciones, para resolverlo se debe eliminar a una de las incógnitas a través de un método, existen varias opciones pero en este video nos centraremos en el de sustitución y el de reducción o suma.
Método de sustitución
Regresando al ejemplo:
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2
Para este tipo de sistemas se recomienda usar el método de sustitución, ya que el primer paso es despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones y lo mejor en esos despejes es encontrar una incógnita cuyo coeficiente es 1
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1 (E1)
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2 (E2)
La “x” de la segunda ecuación tiene un coeficiente de 1 así que se despeja esa “x” es decir se pasa lo que no sea “x” al otro lado de la igualdad.
x = 6 + 5y
El segundo paso: Es sustituir ese valor de “x” en la otra ecuación en nuestro caso la E1
3x + 2y = 1
3 (6 + 5y) + 2y = 1 --- vemos que toda nuestra ecuación ahora solo tiene una incógnita.
Se eliminan los paréntesis multiplicando por el 3 todos los términos que hay dentro de ellos
Tercer paso: Despejar la incógnita que nos queda ahora resulta más sencillo
3 (6 + 5y) + 2y = 1
3 (6 + 5y) = 18 + 15y
18 + 15y + 2y = 1
Dejamos la “y” de un lado y los números del otro lado de la igualdad
17y = 1 - 18 = -17
y = -17/17
y = -1
Cuarto paso: Con el valor de “y” obtenido se puede sustituir en cualquiera de las otras ecuaciones. Se toma E2 que a simple vista es la más sencilla
x - 5y = 6
x - 5(-1) = 6
x + 5 = 6
x = 6 - 5
x = 1
Quinto paso: Comprobar si tus valores son ciertos para resolver ambas ecuaciones.
x = 1 y = -1
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1 (E1)
3(1) + 2(-1) = 1
3 - 2 = 1
1 = 1 ---- se comprueba
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2 (E2)
(1) - 5(-1) = 6 ---- Ecuación 2 (E2)
1 + 5 = 6
6 = 6
Método de reducción
Se recomienda cuando en las ecuaciones no se tiene coeficientes de 1, pero ambos métodos pueden resolver cualquier sistema de ecuaciones. Tomaremos el mismo sistema como referencia.
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1 (E1)
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2 (E2)
Aquí se debe desaparecer una de las incógnitas al sumar ambas ecuaciones, para ello se deben encontrar los números que al multiplicarse por el coeficiente de la incógnita que elegimos sea el mismo en ambas ecuaciones pero con signo contrario para que se eliminen.
3x + 2y = 1 --- Ecuación 1 (E1)
x - 5y = 6 ---- Ecuación 2 (E2)
Se determina eliminar “x” porque los coeficientes a simple vista son más sencillos:3 y 1, entonces solo se requiere multiplicar por 3 la segunda ecuación pero se debe dejar ese 3, negativo para que pueda eliminarse con el 3 positivo de la primera ecuación.
-3 (x - 5y = 6 )
-3x + 15y = -18 ya tenemos la nueva ecuación ahora se realiza la suma
3x + 2y = 1
-3x + 15y = -18
---------------------
0x + 17y = -17
Despejando y
17y = -17
y = -7/7 = -1
Con el valor de “y” se aplica el cuarto y quinto paso que vimos anteriormente en el video.
Resumen:
Puedes usar cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones.
Se recomienda el sistema de sustitución cuando tenemos alguna de las ecuaciones una incógnita con coeficiente de 1.
Para sistemas cuyas incógnitas su coeficiente es mayor 1 se sugiere el método de reducción.
Resolver la ecuación de una incógnita y comprobación aplica para ambos métodos (paso 4 y paso 5)
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